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人間が納得できない不可解な数学の問題モンティ・ホール問題

モンティ・ホール問題

「3つのドアがあって、1つのドアが当たりで、2つのドアは外れである。今、私は当たりのドアを当てたい。私が1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうち外れのドアを開けて、外れであることを私に見せた。
ここで私は、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。私はドアを変更すべきだろうか?」
という問題。答えは変更したほうが良いになる

変更せずに当たる確率は1/3だが、変更して当たる確率は2/3になるため
しかし、どちらの確率も1/2だろうと考える人が多いらしい

 

確率は変わらない(1/2)派の考え

答えが提示されていない状態で選択肢が三択から二択になった場合、絞られた二択から再度選択し直すんだから1/2だよ!
三択状態の選択を二択になった段階で考慮する必要がないよ!

 

現実では変更しなくても一緒でしょ?

 

確率は変わる(2/3)派の考え

現実でも一緒じゃない
ちゃんとシミュレーションしたら1/2でなくて2/3であることが確かめられる


実際に変更した方が当たるんか?

適当にプログラミング組んで何回もシミュレーションすると、変更した方が確率高いことは容易に確かめられる

 

扉を開けるって情報が邪魔
最初にA,B,Cの内からAを選んだ後にやっぱり止めてB,C両方選ぶって選択肢をとっても良いですよって話
但しB,Cの内ハズレはモンティが先に開けるけどという形になる

 


 
モンティホール問題は「解答者はあらかじめ、自分に再選択の機会があることを知らされてる」ってのが大事な前提なんやけど、そこに触れられてない場合が多いんだよな

 

変えた結果外れになるのは、最初の1/3で選んだのが当たりだった時だけやからな

  

 


最初の選択が外れてる確率=変えて当たる確率やからなんとなくわからん?

 

 

モンティホール問題の正解

1990年米国雑誌の読者投稿欄
読者「こういうケースだと変えた方が得ですか?」
IQ世界一のマリリン「もちろん!変えたら確率が2倍になるわ!」
読者の9割「そんなわけないやろ」
数学者たち「そんなわけないやろ」
世論「マリリンは過ちを認めろや」

ある数学者「モンテカルロ法でシミュレーションしてみたらマリリンが正しいやんけ!」
「「「マジか!」」」

 

ベイズの定理

ベイズの定理を使えば理論的に一発で証明できます。

ベイズの定理でモンティホール問題を解く方法はこちら

 

まずベイズの定理とは
P(X|Y)=P(Y|X)P(X)/P(Y)
のこと
ここでP(X)やP(Y)はそれぞれXやYの起きる確率(XやYにはなんか適当な出来事が入ると考えてください)
P(X|Y)とは「Yが起きたことが確定してる上で、Xが起きる確率」のことを表しています
例えば、
X=東大合格 Y=偏差値70
だとすると、
P(X|Y)=偏差値70のやつが東大受かる確率
P(Y|X)=東大合格者が偏差値70の確率ってことです。

以下、この定理を使ってモンティホール問題を計算する


とりあえず3つのドアにA,B,Cと名前付けるぞ
で、最初に選んだドアをA、司会者のモンティが外れだと見せたドアをB、残り一つのドアをCとする

・変更しない

ときの確率は

P(Aが当たり|司会がBを開ける)

 

だから、これにベイズの定理を当てはめると

 

P(Aが当たり|司会がBを開ける)=P(司会がBを開ける|Aが当たり)P(Aが当たり)/P(司会がBを開ける)

 

となる。あとはそれぞれ

P(司会がBを開ける|Aが当たり)=1/2 ……Aが当たりのとき、司会はBとCのどちらを選んでも開けても良いので1/2

 

P(Aが当たり)=1/3 ・……ドアが3つあるんだから当たり前

 

P(司会がBを開ける)=1/2 ・……

だから、

(1/2)×(1/3)/(1/2)=1/3

っとなります。

変更しないと1/3になる説明はこんな感じです。

 

・変更するときの確率は

P(Cが当たり|司会がBを開ける)

だから、これにベイズの定理を当てはめると

P(Cが当たり|司会がBを開ける)=P(司会がBを開ける|Cが当たり)P(Cが当たり)/P(司会がBを開ける)

となる。あとはそれぞれ

P(司会がBを開ける|Cが当たり)=1 ……Cが当たりのとき、司会はBとCのうちBしか選べないので確率は1

P(Cが当たり)=1/3 ・……ドアが3つあるんだから当たり前

P(司会がBを開ける)=P(司会がBを開ける|Aが当たり)P(Aが当たり)+P(司会がBを開ける|Cが当たり)P(Cが当たり)
=(1/2)×(1/3)+1×1/3
=1/2

だから、

1×(1/3)/(1/2)=2/3

となります。変更すると2/3になる説明はこんこんじです。

 


2択になるってのが錯覚

・最初の3択で外れを選ぶ(2/3)
モンティが開けなかった方の中身は絶対に当たり

・最初の3択で当たりを選ぶ(1/3)
モンティが開けなかった方の中身は絶対に外れ

なのだから。


青で囲んだのが最初に選んだドア
赤で囲んだのがモンティが外したドア
こうしてみれば変えた方が当たるのは一目瞭然か

 

f:id:createday:20190901110459p:image

はじめドアを選ぶとき
(i)そのドアがあたりの時の確率は1/3
一つはずれのドアを開いて変えないとき当たる確率は1 …①
一つはずれのドアを開いて変えるとき当たる確率は0 …②
(ii)そのドアがはずれの時の確率は2/3
一つはずれのドアを開いて変えないとき当たる確率は0 …③
一つはずれのドアを開いて変えるとき当たる確率は1 …④

結局最後で当たればいいだけの話だから
ドアを変更しないで当たるのは①と③よって1/3*1 + 2/3*0 = 1/3
ドアを変更して当たるのは②と④よって1/3*0 + 2/3*1 = 2/3

よって変更した方が2倍確率が上がる じゃだめなん?

 


100個の箱があってそこから1つ箱を選んだとき
その箱の中身がハズレの確率は99%、アタリの確率は1%
モンティがハズレのうち98個の箱を開ける
このとき最初に選んだ箱の中身がハズレなら、箱を変えることで確実にアタリが引ける
つまり、最初に選んだ箱がハズレの場合と同じ99%の確率でアタリが引ける
箱を変えることでハズレを引いてしまうのは最初に選んだ箱がハズレの場合だけで、その確率は1%
よって箱を変えた方が良い

 

間違えている考え方

Q.

横の箱が99%を生き抜いた可能性がある限り2分の1

99%を生き抜く確率は1%
つまり横の箱がアタリの確率は1%

そうなったら今度は変えない方が良くなるけども
結局5050やん

 

A.
問題内では箱開けた後も箱の総数は変わってない。
モンティがハズレを除外したとき目の前にあるのは、アタリの箱1個、ハズレ99個の計100個の箱から選んだ1つの箱と、選ばれなかった99個のうち98個のハズレが確定したものを除外した残りの1個とが並んでいる。


いやそれは横の箱が外れる可能性を1%にしただけでアタリに変えるわけじゃないやん
なら5050じゃん


だから、箱を変えれば99%の確率でアタリ、残り1%の確率でハズレ。
別にハズレがアタリに変わる訳ではありせん。

 

これが分からないのはラノベ作家が「すべての物事は1/2」って言っていたのと同じ考えな気がします。
確率よりも当たるか外れるかの二分法的な思考になっているということです。

 

モンティは単に、司会者がどのドアが当たりかを知ってる状態で外れを開けるんだから、こちらとしては変えた方が得としか。

この問題は箱じゃなくて、
「トランプ53枚ジョーカーが当たりとして、一枚引いた後、残ったカードをひとまとめにして、今自分が持ってる一枚のカードと選ばなかった52枚のカードの束、どちらにジョーカーが入っている可能性が高いでしょうか。」
と言い換えても同じ。

 

100個のドアの説明だと、「なんで選ばなかったドア99個のうち1個ではなく、99個のうち98個も開けるんだ?条件変わってるだろ?」という疑問を抱く人は必ずいる


別に開ける扉が一個だろうが変えた方が確率は高いんだけどな
たとえば扉が4つだったとしたら、はじめに開けた扉Aが当たりの確率は1/4だから残りのBCDのどれかが当たりの確率は3/4、Dの扉1つだけが開けられたとしても、BCそれぞれの確率は3/8だからAよりも高くなる

 

モンティって最初の3つ扉がある状態から確率を示すから変更した方が2/3当たるって言ってるだけで、司会者がはずれの扉を開けて見せた時点だと1/2でしかないでしょ?

扉が2つしかない状態で「変えた方が2/3当たる」って言うのは間抜けじゃない?


確率に影響するのは回答者が最初にハズレを選択した世界線だけで、回答者が最初に正解を選んでいた世界線ではむしろハズレを確実に当ててしまう事になるから、その点について過去の数学者までもが誤ったんじゃないかな

ホットハンドの誤謬ではないけれど、実質2回連続で当選するか、1回だけ当選するか、となれば後者の方が実行できる確率は高いという事実も影響しているだろうし

いろんな考えを元にした推測を間抜けと切り捨てるのはいくない 

最初10の言っている風に考えてる風に見えてたけど、その内容でようやく納得できたわ
初回の三分のニのハズレが実質あたり扱いになるわけか


どのタイミングで確率を求めるか、争点になっている誤解
ヒントはドアが三つ並んだ時点で当たりドアは確定される
そのあとでの三者択一、そのあとでの二者択一
当たりドアは動かない
しか選択者の選ぺる範囲は変わっている
言い換えれば、ひとつ選びますか?
それともふたつ選んで外れをひとつこちらで間引きますか?
と言うようなもの。

 

モンティホールは当たる確率が2/3になるというよりも
外れる確率が1/3になると考えた方が理解しやすいと思う

 

確率を導き出すのに情報をいかに集めるかが重要なの。
モンティホールの場合は、一連の流れの中にランダム要素が無いので連続性を無視するべきではない。

なので、"最初に選んだものが当たる確率"と"最初に選ばなかったものが当たる確率"の比較になる。
ただし確率が低いといっても0%で無い限りは当たる可能性は在る。

 

確率を変えたのはモンティであってマリリンじゃないだろ ?


モンティ・ホール問題で重要なのは「司会者は正解の扉を知っていて意図的に外れを選ぶ」という前提がある事
これ曖昧にするから理解しがたくなるだけ


1/3から2/3に確率を変えたのはモンティなのに、どうしてマリリンが当てる確率が上がるねん ?


マリリンはモンティの視点で「マリリンに当てられる確率」を考えてるんだろ ?
だけど普通の人は、「マリリンはマリリンの視点で考えているはずだ」と考えているから当たる確率は1/2なんだろ ?


本スレで国語の問題って言ってた意味が分かった
モンティがマリリンに2/3で当てさせるようにする仕組みみたいなものか
視点が違うのね


モンティの問題は最初に1つ選ばせるのがミソなんだよ。
「最初に当りを選ぶ確率(1/x)」と「再選択時に変更して当たる確率(1-1/x)」の比較だからね。(X=選択肢の数) 
モンテホールって試行回数を増やせば変えた方が確率上がるけど
実際にはその時一度きりの選択で、
扉が一個減るのは確定なんだから1/2なんじゃねーの?
考え方によっては最初から選択肢は1/2でしょ?


確率の問題で実際に試して云々はおかしくない?
実際には不可能なほど果てし無い回数を試した結果、収束していくであろう値を計算で求めるのが確率なわけで

最初の選択肢が3つの時点で分母は3で確定してて、当たりは1つだから1/3ハズレは2/3

で、この問題の場合だと最初に当たりを選んでたらハズレが残り、ハズレを選んでたら当たりが残ることになる

要するにハズレを選んだときに選び直したら当たるよって話なのでハズレの確率=当たりの確率になる

で、元々のハズレの確率は2/3なので当たりの確率も2/3となる


「誰の視点で正解する(正解される)確率を考えているのか」という文章が抜けているから、わけわからんことになるんだよw 

 

モンティさんが当たりがどれなのか知ってるって前提を明示しないのは卑怯、っていうか数学の問題として不適切。だから数学者も間違える。

 

誰の視点でも答えは一緒なんだよ。
何故なら最初の選択の時点で不正解を提示されてないから。
1/2って感じるのは最後の選択が2択だからだけど、2択の中身が「最初の選択の確率1/3」と「選択を変更した場合の確率2/3」という不平等なもの。

 

選択を変えるべきか否かって話なら
1/2なんだから悩むだけ損で「そのまま」が正解

2/3ってなんだよ再選択する時点で思考をやり直すんだから二択で確率1/2じゃろ


 
司会者がうっかり当たりドアを除外して1/2を迫るのなら選択者の回答に司会者の行動の影響はない
変えても変えなくてもの場合も1/3で当たりを引く

司会者が当たりを避け、外れを除外するというのなら話は別だ

初めの1/3か、残り全部/3を選ばされてるのだ

 

 

モンティのルールがある前提なら、
最初に選んだAが正解の確率は1/3
その後に選択を変えるっていうのは、すなわちBとC両方を選ぶってこと
BとCのどっちかに正解がある確率は2/3だろ?
で、そのBとCのうち、間違ってる方を確実に除外してくれるわけだ
つまり、選択肢こそ2択の問題だけど、その中身はAが正解か、A以外に正解があるかの2択であって、2者の確率は同じじゃない

 

再選択時は自分の選んだ3分の1の確率で正解の扉か、3分の2で正解の扉かの二択なんだわ
50:50の二択じゃない

 

回答者が最初に選んだあとモンティが選択肢を一つ消してくれるので
自分の選んだ扉が正解だった場合と不正解だった場合を考えると73の図になる

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不正解だった場合の方がパターンが多いので変えた方が当たりやすい

 

最初から当てている確率は1/3で低い
2/3の確立で外れていて1/2の確率で再度選べるから
変更したほうが正解ということかな


 
最初にハズレていたら当たりが残るから選び直したら2/3で当たる


 

2/3の確率で外れている=残りの扉どっちかに当たりがある確率は2/3、で、そのどちらかのうち、間違ってる方を確実に1つ除外してくれるわけだから、変えた後の扉が正解の確率はそのまま2/3になる

1/2とかは出てこない

 

プレイヤーに確率論の知識があれば、扉を変更するほうが有利だと判断できる。
しかし、モンティーがハズレの扉を開けた直後に、それまでのプレイヤーとモンティーのやり取りを知らない、確率論の知識がある第3者が来て、2枚の扉のどちらを選ぶのが有利かを判断すると、どちらの扉も差がない、という判断になる。
この違いは「モンティーがハズレの扉を開けた」事実を知っているか否による。

 

 

 

2択だからといって1/2だって決めつかはいけないということです。

最後の二択は事前の三択の上に成り立ってるので考慮しないといけないです。

バナッハ・タルスキーの定理

球体を有限個の部分にバラバラに分割し、それらをうまく組み替えることで、元の球と同じ半径の球を2つ作ることができるという定理

直観に反する定理ゆえに納得できない人が多い

 

バナッハ・タルスキーは現実世界には適用 不可です。
体積の定義できない集合に分割する必要があるが、そんなの現実にはやりようがありません。

 

バナッハ・タルスキーが意味わからんわ
中身の詰まってる球体を中身スカスカの球体2つにするってことか?

いや、中身詰まってない球を中身詰まってないまま2つに分けられる。


まず必須なのが∞の理解
無限記号だ、んでこの無限、定められた超特大の数って訳じゃなくて、無限という状態と言う感じな訳よ
つまり、∞-1=∞ て式が成り立つ
∞÷2=∞なんてのも成り立つ
無限だからな
してこの無限を使って球体Xを∞個の形nにばらしてみる
X=n(∞)だ
で、無限にバラけたnだが、この無限、上でかいたように、1/2にしても無限のまま
すると
X=(n(∞))/2
となっても許されるんだ、何故かな
噛み砕いて流れを説明すると、
球体をバラけさして、半分にして、集め直すと球体が二個に増える、わけだよ

殆ど無限っていうなんでもありパワーワード叙述トリックみてーな内容だよ

バナッハタルスキーは、M=∞・0=(2・∞)・0=2・(∞・0)=2Mってことです。

 

正方形を空間充填曲線で二つに分割すると分割された二つの部分集合はどちらも正方形を埋め尽くしていることを考えるとバナッハタルスキーもそれほど不思議ではなくなる

1+2+3+…が-1/12になる

 

全ての素数の積が偶数とは言い切れない 

超準モデルを考えれば、全ての素数の積が偶数になることは言えるんじゃないのかね?
 
自然数論(0 を含めない)とその形式的体系 N および、その標準モデル M を考える。c を定項とする。次のような文のリスト
 ∃x(2・x=c∧¬(4・x=c)), ∃x(3・x=c∧¬(9・x=c)), ∃x(5・x=c∧¬(25・x=c)), ∃x(7・x=c∧¬(49・x=c)), ∃x(11・x=c∧¬(121・x=c)), ∃x(13・x=c∧¬(169・x=c)), …
を N の公理系につけ加え、新しい形式的体系 *N を作る。*N で証明可能な文の全体を F とする。
F の任意の有限部分集合は、定項 c を適当に(そこで現れる全ての素数の積に)解釈すれば、いずれも標準モデル M をモデルとしてもち、無矛盾である。よってコンパクト性定理により F も無矛盾である。すなわち、N が無矛盾であれば、*N も無矛盾である。したがって、完全性定理によって *N はモデルをもつ。しかし、*N のモデルは標準モデル M ではあり得ず、超準モデルである。
この c は "全ての素数の積である自然数" に解釈されることになる。しかも c は 2 の倍数である。


自然数でない偶数を考えるなら、その体系で得られる自然数でない素数も「全ての素数」に含めるべきじゃないかな
そうするとさらに拡張した体系を考える必要が出てきて、そこでもまた新しい素数が出来て、、、ってなりそう

完全球体の接地面積0

 

無限ホテル

 

シェリルの誕生日

一クラスに高確率で同じ誕生日の人がいるってのが納得できない


人間は「そういうペアがいる」っていう話を主観的に「自分と同じ誕生日の人がいる」って無意識に捉えてしまうから直感とは異なる感じになるらしい

 

 

30ドルの

或る晩、三人の旅人が一軒のホテルに泊まることになった。

一部屋一泊30ドル。三人は一人10ドルずつ出し合ってボーイに渡し

皆で仲良くその部屋に泊まった。
翌朝、このホテルのオーナーが出勤し帳簿を見てボーイに言った。

「おい、あの部屋は一泊25ドルだぞ。今すぐ5ドルを返してきなさい」

人の良いオーナーと違い、ボーイはそれほど良心的な人間ではなかった。

(三人に5ドル返してもややこしくなるだけだろう)

ボーイはこう考えると2ドルを自分のポケットに入れ、3ドルを持って旅人たちの部屋に向った。

「当方の手違いで宿泊料金を多く受け取っていました」

ボーイは2ドルネコババし、三人にそれぞれ1ドルずつ返した。

旅人たちは何も知らずボーイに礼を言いホテルを後にした。

 

うまくやったとにやにやしながらポケットの中の2ドルを玩んでいたボーイだったが、しばらくしてふとおかしな事に気がついた。

 

ちょっと待てよ・・・最初、旅人達は三人で30ドル、一人10ドルずつ払ったよな・・・

俺が3ドル持っていって一人1ドルずつ返したから、10ドル-1ドルで結局一人9ドルを払ったことになる。

3人×9ドルだから、彼らが出した金額は全部で27ドル。

俺のポケットの中には今2ドル入っている・・・

それを足すと29ドル・・・、最初払ったのは30ドル・・・

 

・・・残りの1ドルは何処へ消えたんだ?

 

 

10ドル×3(人) ─30ドル(払)-25ドル(部屋代)=5ドル(←おつり) 


9ドル×3(人) ─27ドル(払)-25ドル(部屋代)=2ドル(←ネコババ)


30ドル-(25ドル+2ドル)=3ドル=(10ドル-9ドル)×3 


解決

元から払う25ドル、返した分の3ドル、ネコババした分の2ドルを足すとちゃんと30ドルになります。 つまり、1ドルは消えていないということです。

旅人が払ったお金は27円。お店が受けとったお金は25円。その残りの2円をネコババしたのでちゃんと27=25+2になってますよね。 

旅人が30円払ったのになぜか29円にしかならなかったのは不思議ですね。

そもそも30円なんて3円返した段階で27円になっているので計算上出てこないはずなですがね。

統計

ランダムで三百くらいのサンプルがあれば誤差数パーセントで何億だろうと全体の特徴が把握できるってのが良いんじゃないの。

選択公理

選択公理自体は当たり前の公理に思えるのに、選択公理から導かれる定理はおかしく見えるの不思議だよな
バナッハ・タルスキーもその例やな

アキレスと亀

アキレスと亀
「アキレスは永遠に亀に追いつけない」
じゃなくて
「アキレスが亀に追いつく前の時間を永遠に1/2し続けているだけ」
だからパラドックスでもなんでも無いと思うんだけど

東條首相の算術

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テンコジ算が納得できん
「1+1は2じゃないぞ。オレたちは1+1で200だ!10倍だぞ10倍」


 
それは他の人が「俺らは1+1で20だ」と発言したことを踏まえて「あいつらの10倍」という意味で使ったやつ


前提があるとしっくりくるな

 

同じ誕生日のやつがいる確率が七割を超える人数とか、

どちらも直感では納得しづらいけど、まぎれもない事実

 

無限ホテルの話は加算な無限集合って何?を仕方なくそれっぽい例で説明しただけだからな

アキレスと亀は収束値が求まるから,その値でアキレスは亀を追い越すだけの話

 

あとひとつは「事象としては存在するがその確率が0」のやつ。ルベーグ積分論で出てくる零集合だな。
例えば、歪みのないコインを投げ続ける時に、全て表が出る事象は存在するが、その確率は0。
この確率を無限小の超有理数で表す超準モデルがあり、そっちのほうがしっくりくるが、超準解析を理解するのはそれなりに大変。

ようこそ!名無し文学部へ
楽しんでいってください。